Schätzwerte der Magnitude eines Erdbebens auf Grund der Maximalintensität und anderer Herdparameter aus Erdbebenkatalogen

R. Gutdeutsch[1], Wien, D. Kaiser[2] und G. Jentzsch[2], Jena

In dieser Arbeit werden die Korrelationen zwischen M, Io und log(H), sowie ML, Io und log(H) als auch ML und Ms untersucht, um daraus empirische Beziehungen abzuleiten und um andere aus der Literatur bekannte empirische Beziehungen zu prüfen. Datenbasis ist der Erdbebenkatalog von Kárník 1996. Ein Zusammenhang zwischen den Parametern wird erst dann als signifikant angesehen, wenn er mindestens 20 Erdbeben enthält und die Korrelationskoeffizienten in Bezug auf M bzw. ML größer als 0.5 sind.

1) Da die Korrelationskoeffizienten zwischen M bzw. Io und log(H) in allen Fällen wesentlich größer sind als die in Bezug auf H, ist es sinnvoller, eine Näherungsgleichung mit log(H) anstatt H zu verwenden. 2) M wird nach Kárníks Beziehung M = 0.35 + 0.5 Io + log(H) aus den Katalogwerten 1901-1990 für Io und H ausgerechnet. Das Ergebnis stimmt für diesen M - Datensatz mit dem Standardfehler DM = ± 0.62 überein. Für den denselben Datensatz ergibt die eindimensionale Regression einen geringfügig kleineres DM = ± 0.55. Da aber M, Io und log(H) fehlerbehaftet sind, wird die orthogonale Regression M = -0.88 + 0.43 Io + 2.55 log(H), s = ± 0.30 durchgeführt (s = Standardfehler der orthogonalen Regression). 3) Die empirische Formel ML = 0.13 + 0.30 Io + 2.48 log(H), s = ± 0.31 ergibt sich aus der orthogonalen Regression. ML stimmt für den Bereich 5 km<100 km gut mit der Formel ML = -4/3 + 2/3 Io + 2 log(H) ± 0.87 überein, die durch Kombination aus anderen aus der Literatur bekannten Formeln (Ahorner, 1983 und Sponheuer, 1960) erhalten wurde. 4) Die sehr hohe Korrelation zwischen ML und Ms wird durch den Einfluß der Herdtiefe H geringfügig verbessert. Eine befriedigende Übereinstimmung beider, der orthogonalen Regressionsformeln ML = 0.885 Ms + 0.702 (s = 0.16) und ML = 0.535 + 0.889 Ms + 0.129 log(H) mit s = 0.16 mit Literaturwerten wurde nachgewiesen.

Schlüsselworte: Kárníks Magnitude, Lokalmagnitude, Oberflächenwellenmagnitude, Korrelationskoeffizienten, eindimensionale und orthogonale Regression, Erdbebengefährdung, Erdbebenkataloge

1. Motivation

Richter (1935) hat die Erdbebenmagnitude ML als Maßzahl für einen Begriff eingeführt, der durch die Stärke, Wucht oder Wirkung eines Erdbebens ungefähr umrissen wird. Es ging ihm in erster Linie darum, daß die Magnitude auf Grund einer sehr einfachen und schnell zu befolgenden Meßvorschrift bestimmt werden kann.

Die Sache wird komplizierter, da es zahlreiche, ebenfalls einfache, Meßvorschriften für weitere Magnituden gibt, wie die Oberflächenwellenmagnitude Ms oder die Raumwellen-magnitude Mb. ML und Ms ergeben für ein und dasselbe Beben meist unterschiedliche Zahlen, die empirisch eher locker zusammenhängen. Hier mischen sich die Auswirkungen der unterschiedlichen Meßvorschriften, die Meßfehler und die Tatsache, daß verschiedene Wellenarten herangezogen werden.

Die Frage, wie genau überhaupt eine Magnitude angegeben werden darf, ist keineswegs nur akademisch. Sie berührt die Verantwortung von Seismologen/innen gegenüber der Öffentlichkeit, wenn die Frage nach der seismischen Gefährdung eines Standortes gestellt wird. Es setzt sich zunehmend die Einsicht durch, daß nicht genügt, den Entscheidungsträgern nur eine Zahl zu nennen, wie beispielsweise die Angabe der Magnitude (und Intensität) des Bemessungserdbebens, sondern auch eine Vorstellung darüber zu vermitteln, wie sicher diese Angaben sind. Wir sind der Auffassung, daß eine Abschätzung des möglichen Magnitudenfehlers zu den unverzichtbaren Grundlagen einer seismischen Gefährdungsanalyse gehört.

An Bedeutung gewinnt diese Frage, wenn mögliche systematische oder subjektive Fehler bei der Schätzung der Magnitude eines Erdbebens aus makroseismischen Daten zu beurteilen sind. Für einen großen Teil der stärkeren Erdbeben Europas liegt ausschließlich makroseismisches Beobachtungsmaterial vor. Die Abschätzung der Magnituden dieser Erdbeben mit möglichst geringen systematischen Fehlern ist eine wichtige Voraussetzung der seismischen Gefährdungsanalyse. Das Ergebnis einer solchen Analyse hängt empfindlich von den Seismizitätsparametern ab, wie z.B. dem b-Wert der Magnituden-Häufigkeits-Beziehung, und diese wiederum bauen auf den Magnituden des zugrundeliegenden Katalogs auf.

2. Ziele dieser Arbeit

Ziel dieser Arbeit ist die indirekte Bestimmung der Magnituden M und ML eines Bebens aus der Maximalintensität und anderen Herdparametern. So schlägt ein Bearbeiter, der die Lokalmagnitude ML eines bestimmten Bebens wissen möchte, zunächst im Erdbebenkatalog nach. Oft existiert für ältere Beben keine ML-Bestimmung, sondern es finden sich andere Angaben wie die Oberflächenwellenmagnitude Ms, Kárníks Magnitude M*, Schütteradius R3, Herdtiefe H oder Maximalintensität Io. Welche Möglichkeiten gibt es, hieraus ML abzuleiten?

Es bieten sich zwei Wege zur Lösung des Problems an:

1. Man stellt zunächst an Hand verfügbarer Kataloge oder sonstiger Publikationen für Beben aus dem näheren Umkreis des Bebens, dessen ML gesucht wird, einen Satz unabhängig beobachteter Daten, etwa ML, Ms, H, Io zusammen. Für diese leitet man eine bestens angepaßte ortsgültige empirische Beziehung dieser Parameter in Bezug auf ML ab und bestimmt mit dieser Beziehung dann den gesuchten Wert für ML. Dieser Weg ist nur dann sinnvoll, wenn der ausgewählte Datensatz groß genug ist.
   
   
2. Wenn aber nicht genügend Erdbeben im näheren Umkreis gefunden werden können, bleibt nur die Alternative, aus der vorhandenen Literatur empirische Formeln zu verwenden, welche ML formal mit anderen Bebenparametern verbinden. Wenn zum Beispiel die Herdtiefe H, die Kárník-Magnitude M und die Maximalintensität Io vorliegen, ist dies durch Kombination der beiden empirischen Formeln Gl. (2) (Ahorner 1983) und Gl. (4) (Sponheuer 1960) möglich. Nachteilig ist, daß zu der Ungenauigkeit der Katalogdaten jede verwendete empirische Formel eine zusätzliche Unsicherheit hervorruft. Ein zusätzliches Problem stellen die begrenzten Geltungsbereiche der Magnitudenformeln dar. Sie sind also ohne einschneidende Prämissen nicht zu verallgemeinern.

Erst eine Gegenüberstellung kann zeigen, inwieweit diese Nachteile zum Tragen kommen. Das soll in dieser Arbeit geschehen

3. Das Quellenwerk zu Kárník´s Magnitude M

Kárník hat einen Europäischen Erdbeben-Katalog 1901-1955 verfaßt (Kárník 1969, hier mit KA69 bezeichnet) und dessen Ergänzung bis 1990 vorbereitet, konnte ihn aber wegen seines frühen Todes nicht mehr fertigstellen. Später hat K. Klíma seine hinterlassenen, sehr umfangreichen Aufzeichnungen editiert und als Katalog unter der Autorenschaft von Kárník publiziert (Kárník 1996, hier mit KA96 bezeichnet). KA96 mit 14885 Erdbeben bildet unsere Datengrundlage.

Der Katalog enthält eine Magnitudenangabe M. Kárník definiert sie wie folgt:

"The magnitudes based on surface waves (MLH) were taken as representative for shallow earthquakes and those based on body waves (MB=m) for intermediate and deep earthquakes, respectively...." (KA69, Seite 41).

28% der Magnituden M in KA69 sind mittels empirischer Beziehungen aus nichtinstrumentellen Informationen abgeleitet. Es findet sich ein Hinweis, daß dieses wegen der Einbeziehung der historischen Beben unbedingt erforderlich sei (KA69, Seite 48). In der späteren Fassung KA96 fehlt dieser Hinweis. Gegenüberstellungen zeigen, daß in Ka96 auch KA69 überarbeitet wurde. Ereignisse mit nichtinstrumentell bestimmten M sind aber in KA96 nicht mehr gesondert ausgewiesen. Wir haben einen Test durchgeführt, um deren ungefähre Anzahl zu ermitteln: KA96 enthält 3278 Ereignisse mit M, Io, und H Angaben. Von diesen stimmen die M-Angaben bei nur 315 Ereignissen innerhalb von DM = ± 0.05 mit der weiter unten diskutierten empirischen Formel (1a) überein, die Kárník für die makroseismische Bestimmung von M angegeben hat. Das heißt, für eben diese 10% der Ereignisse ist es wahrscheinlich, daß ihre Magnituden M aus makroseismischen Informationen erhalten wurden. Kárník hat allerdings weitere empirische Magnitudenformeln der Gestalt M = A Io + B für bestimmte Gebiete verwendet (KA69, Seite 66ff). Es ist daher in den meisten Fällen praktisch unmöglich, diese M-Eintragungen mit Sicherheit von den instrumentell bestimmten M zu trennen. Wir nehmen dies als Tatsache zur Kenntnis und räumen ein, das sie unsere Ergebnisse belasten können.

Man könnte aus der Definition von M bei KA69 die Absicht des Autors herauslesen, einen umfassenderen Begriff für die Magnitude zu entwerfen, der nicht nur MB und MLH sondern auch makroseismische Kriterien mitverwendet, denn er schreibt

"For many earthquakes Io was known, for some of them also M, based on different formulae was given, and for other earthquakes no indication about M or Io was available. Hence, one of the author's main tasks was to elaborate a convenient method and to classify uniformly all earthquakes." (KA96, Seite 34ff)

Die Diskussion, ob eine solche Definition physikalisch sinnvoll ist, soll nicht Gegenstand der vorliegenden Arbeit sein. Wir sind aber der Auffassung, daß die Besonderheit der M-Bestimmung eine Qualität dieses Kataloges ist. Es wäre zumindest zu prüfen, ob und in welchem Rahmen M dieses Vorteils wegen als Kandidat einer umfassend definierten seismischen Magnitude in Betracht kommt. Die Fortführung des Kataloges eröffnet diese Chance.

Abbildung 1 zeigt die Herdtiefenverteilung des Datensatzes aus KA96 für 2937 Erdbeben mit M, Io und H-Angaben.

1a) Verteilung der M gegen H

1b) Verteilung Io gegen H

1c) Verteilung M gegen Io

1d) Häufigkeitsverteilung als Funktion der Herdtiefe (Klassenbreite 5km)

Man kann für jede Herdtiefe eine Mindestmagnitude Mmin angeben, die mit wachsender Herdtiefe H deutlich von M = 2.8 bei H = 1 km auf etwa M = 4 bei H = 60 km ansteigt. Bei noch größeren Herdtiefen ist diese Tendenz nicht mehr sicher nachweisbar - möglicherweise als Folge der Berechnungsart: Für mitteltiefe und tiefe Erdbeben wurden, wie oben erwähnt, nicht die Oberflächenwellenmagnitude, sondern die Raumwellenmagnitude verwendet. Die untere Grenze Mmin ist durch die Wahrnehmungsschwelle, bzw. der Detektionsschwelle der Stationen zu erklären die mit der Tiefe des Herdes zunehmen. Ein einheitliches Verhalten der oberen Magnitudengrenze M_max ist nicht ersichtlich. Im Bereich 10 km Ł H Ł 60 km scheint M_max mit H abzunehmen.

4. Verwendung mehrerer empirischer Beziehungen zur Bestimmung von ML

4.1. Empirische Beziehungen zwischen M, Io und H nach Kárník

Wenn von einem Erdbeben im Katalog nur die Maximalintensität Io und die Herdtiefe H genannt werden, bedient man sich zur Abschätzung der Magnitude oft einer empirischen Näherungsformel, die auf KA69 zurückgeht:

(1)     M = A + B Io + C log(H)

Die Koeffizienten A, B und C werden für unterschiedliche Beobachtungsgebiete und Zeitabschnitte empirisch durch beste Anpassung gefunden. Kárník ermittelte für seinen Datensatz, den er als typisch für Europa bezeichnet

(1a)     M = 0.35 + 0.5 Io + log(H)

also A = 0.35, B = 0.5, C = 1.

Bei der Aufstellung dieser Näherungsformel verwendete Kárník ein Kollektiv von ca. 1300 Erdbeben mit gegebenen M, Io und H (gegebenenfalls makroseismisch bestimmtem H) aus West-, Mittel- und Osteuropa, den Mittelmeerländern und dem Balkan aus der Zeit 1901 bis 1955. Für die einzelnen Länder liegen die unteren Grenzen von Io zwischen V und VII, die oberen zwischen VIII und X. Aus Deutschland tragen nur 41 Krustenbeben mit Io zwischen V und VIII, also etwa 3% des ganzen Datenkollektivs, zum Ergebnis bei.

Das Quellenmaterial, ursprünglich inhomogen, ist nach dem damaligen Stand der Forschung bestmöglich bezüglich M homogenisiert worden. Formel (1a) wird oft als grobe Abschätzung der Magnitude verwendet (Franke und Gutdeutsch 1974; Meidow 1995, S. 35).

4.2. Empirische Zusammenhänge zwischen ML, H, Io und M

Ahorner (1983) gibt eine empirische Beziehung zwischen der instrumentell bestimmtenLokalmagnitude ML und der Intensität mitteleuropäischer Erdbeben in r = 10 km Herddistanz an.

(2)     I (r=10km) = 1.5 ML - 1.0 ± 0.6

die man in

(3)     ML = 2/3 I_(r=10km) + 2/3 ± 0.4

umformen kann. Gleichung (2) ist durch 25 Meßwerte aus Mitteleuropa, vorwiegend aus dem Rheingebiet, mit 3.2 Ł ML Ł 5.7 und dem Friaul-Erdbeben mit ML = 6.5 gestützt. Sie gilt für Herdtiefen bis 10 km, läßt sich also nicht ohne weitere Annahmen auf Erdbeben mit größeren Herdtiefen anwenden.

ML soll nun als Funktion anderer Herdparameter dargestellt werden. Es ist möglich, aus Gleichung (1) und der Formel für die Intensitätsverteilung von Sponheuer (1960)

(4)

ML zurückzurechnen. In Gl. (4) bedeuten D die Epizentraldistanz und I die makroseismische Intensität. Man muß in Gleichung (4) die Hypozentraldistanz

r =r₁₀ = = 10 km

verwenden und das erhaltene I in Gl (3) einsetzen. Dann folgt:

(4a)

Es wird erwartet, daß die Genauigkeit der gewünschten Formel für ML bei ± 0.4 Magnitudeneinheiten liegt (s. Gl. (3)). Dann folgt für den häufig verwendeten Wert a = 0.0025, daß der letzte Term in Gl. (4a) für H Ł 10 km kleiner wird als 0.0025*10*3/ln(10) = 0.033; somit wird der Fehler bei Vernachlässigung des Terms mit a für ML

  DML = ± 0.02

Diese Zahl ist klein gegen 0.4 (s. Gl. (3)). Im Rahmen der Näherungsrechnung ist dieser Term also vernachlässigbar, so daß für ML folgende einfache Beziehung folgt:

(5)     ML = D Io + E log10(H) + F

In diesem Fall ist:

(5a)    D = 2/3, E = 2, F = - 4/3

Man kann vermittels Gleichung (5) und Gleichung (1) die Lokalmagnitude ML durch Kárníks M ausdrücken, wobei diese Beziehung auch noch von log₁₀ (H) abhängig ist:

(6)     ML = G M + J log₁₀ (H) + K

In diesem Falle ist:

(6a)    G = 4/3, J = 2/3, K = - 9/5

Man sieht, daß formal ML aus M zurückgerechnet werden kann, sofern die Näherung von Kárníks Gleichung (1) im Rahmen der o.g. Genauigkeit zulässig ist.

5. Die Aufstellung von empirischen Formeln für die Magnitude

5.1. Kriterien für die Aussagekraft der Datensätze

Es ist die Frage zu stellen, ob der Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen M, ML, Io und H bzw. log(H) der Datensätze aus KA69 bzw. KA96 so deutlich ist, daß die Aufstellung empirischer Formeln sinnvoll ist.

Erst nachdem diese Frage mit ja beanwortet worden ist, darf man empirische Formeln der Gestalt (1), (5) bzw. (6) aufstellen. Ein wichtiger - aber durchaus vom persönlichen Ermessen des Bearbeiters und vom Ziel der Untersuchung abhängiger - vorbereitender Schritt besteht in der Vereinbarung quantitativer Signifikanz-Kriterien. Diese müssen die Datensätze erfüllen, damit obige Frage mit ja oder nein beantwortet werden kann. Wir verwenden in dieser Arbeit zwei Signifikanz-Kriterien:

1. In Anbetracht der großen Streuung legen wir fest, daß ein Datensatz mindesten 20 Ereignisse enthalten muß.
   
   
2. Als zweites Kriterium wählen wir den zulässigen Mindestwert der partiellen Korrelationskoeffizienten der Magnituden M und ML
   
       r_M,Io/log(H),    r_M,Io/H,
       r_ML,Io/log(H),  r_M,Io/H,
       r_ML,M/log(H),  r_M,M/H,
   
   die durch den Einfluß von H bzw. log(H) gegenüber den einfachen Korrelationskoeffizienten
   
       r_M,Io  r_ML,Io  r_ML,M
   
   eine Verbesserung anzeigen (Schönwiese 1985). Außerdem müssen sie 50% überschreiten.

Wir betrachten einen speziellen Ansatz, etwa (1), (5) oder (6) erst dann als zielführend, wenn beide Bedingungen I. und II. erfüllt sind. Erweist sich ein Datensatz als nicht signifikant, ist der ent-sprechende Ansatz vom Typ (1), (5) bzw. (6) zu verwerfen. Dann bleibt noch der Weg offen, einen neuen Ansatz zu suchen, für den die Signifikanz-Kriterien erfüllt sind.

5.2. Beste Anpassung durch Regressionsrechnung

Der nächste Schritt besteht in der Aufstellung einer bestens angepaßten empirischen Formel, hier dargestellt am Beispiel für M in der Form von Gl. (1). Natürlich sind alle Eingangsgrößen M_i, Io_i und H_i in unterschiedlicher Weise fehlerhaftet, dennoch rechnet man oft so, als ob nur Mi mit Fehlern behaftet sei (eindimensionale Regression von M). Formal wird hier die Quadratsumme der Abweichungen vi von M durch Variation von A, B und C minimalisiert:

(7a)

Ob der Ansatz (7a) als gute Näherung vertretbar ist, kann man nur durch Vergleich mit einem Ansatz feststellen, der alle Parameter, M_i, Io_i und H_i als fehlerbehaftet ansieht (dreidimensionale Regression von M_i, Io_i und log(H_i)). Hier bietet sich die orthogonale Regression an. Bei ihr wird der senkrechte Abstand des i-ten Meßpunktes

von der Regressionsebene nach der Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme Sh_i² minimiert. Es bedeuten:

    P = Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung M = Io = log(H) = 0
    (n_M, n_Io, n_H) = Einheitsvektor in Richtung der Normalen der Ebene.
    M_i, Io_i, log(H_i) = Eingangsdaten.

Durch Differenzieren nach P, n_M, n_Io und n_H wird die Summe der Fehlerquadrate

(7b)

minimiert. N ist die Anzahl der Beben, l der Lagrangesche Parameter, durch welchen die Orthogonalitätsbedingung als Nebenbedingung mitberücksichtigt wird. Die Lagrangesche Methode wird oft zur Lösung von Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen in der seismischen Datenanalyse verwendet (s. z.B. Robinson et al. 1980). In der hier verwendeten Form haben alle Eingangsdaten M_i, Io_i log(H_i) das gleiche Gewicht. Nach Eliminierung von P kommt man auf drei homogene lineare Gleichungen für n_M, n_Io, und n_H. Nullsetzen der Koeffizientendeterminate ergibt eine kubische Gleichung für l mit drei Lösungen, den Eigenwerten l₁, l₂ und l₃. Daraus folgen drei Lösungen für P und (n_M, n_Io, n_H), welche, geometrisch betrachtet, 3 zueinander orthogonalen Ebenen im M, Io, H-Raum darstellen. Wir geben nur jene Lösung mit der kleinsten Standardabweichung für hi , h_i , s(h_i) =  D(M,Io,log(H)), an und berechnen daraus A, B und C. Daraus lassen sich sinnvolle Fehlergrößen für die Eingangsparameter ableiten:

       dIo^(7b),    dlog(H)^(7b)

wobei die Bezeichnung "d" andeuten soll, daß sie nicht selbst das Ergebnis einer besten Anpassung sind. Sie werden aus dem Standardfehler der orthogonalen Regression D(M,Io,log(H)) berechnet. So bedeutet zum Beispiel dM(7b) den Abstand der Fläche

    P = n_M M₍₁₎ + n_Io Io₍₁₎  + n _log(H) log(H) ₍₁₎

von der Fläche

    P+D(M,Io,log(H)) = n_M M₍₂₎ + n_Io Io₍₂₎ +n _log(H) log(H) ₍₂₎

_{auf der M-Achse, d.h.}

    d M^(7b)=M₍₂₎-M₍₁₎=D(M,Io,log(H)) /n_M.

6. Ergebnisse

6.1 Der Datensatz für M, Io, H aus KA69

_{Zunächst geht es darum, aus der gleichen Datenbasis, die Kárník verwendete, eine empirische Beziehung der Gestalt von Gl. (1) abzuleiten um auf diese Weise seine Gl. (1a) nachzuvollziehen. Die von ihm verwendeten Beben sind in KA69 aufgelistet. Übereinstimmung der empirischen Beziehung (1) mit Formel (1a) war nicht zu erreichen.}

_{Dann wurde versucht, durch Auswahl bestimmter geographischer Zonen ein Teilgebiet zu finden, in dem die Verteilung der Erdbeben Gl. (1a) am besten angepaßt ist. Das beste Ergebnis wurde in dem geographischen Fenster 5° E < geographische Länge < 15° E, 40°N < geographische Breite < 60°N erzielt (Mitteleuropa und Italien). Hier stimmt die eindimensionale Regressionsformel nach (7a)}

_{(8)   M^(7a) = 0.357 + 0.497 Io + 0.933 log(H) ± 0.349 ( ± 0.358)}

_{sehr gut mit Gl. (1a) überein, nicht aber mit der orthogonalen Regressionsformel. Der in Klammern gesetzte Wert des Standardfehlers gilt hier wie auch in Gl. (9a) für Gl. (1a). Da im geographischen Fenster tiefe Beben nicht vorkommen, diese aber bei der Ableitung von Gl. (1a) in KA69 berücksichtigt wurden, bleibt das Ergebnis Gl. (8) widerspruchsvoll in Anbetracht der Tatsache, daß keine Übereinstimmung für den gesamten Datensatz zu erreichen war.}

_{6.2. Der Datensatz für M, Io, H aus KA96}

_{Der verwendete Datensatz KA96 enthält 2937 Erdbeben mit Angaben über M, Io und H. Nach den Abbildungen 1a, 1b und 1c lassen sich die berechneten Korrelationskoeffizienten}

r M,log(H)	=   0.347
r M,H	=   0.366
r M,log(H)/Io	=   0.504
r M,H/Io	=   0.483
r M,Io	=   0.478
r Io,log(H)	= -0.186
r Io,H	= -0.118
rM,Io/log(H)	=   0.588
rM,Io/H	=   0.563  >  r M,Io

leicht nachvollziehen. Abbildung 1d zeigt darüber hinaus das Vorherrschen von Herdtiefen unter 40 km.

Der verhältnismäßig hohe partielle Korrelationskoeffizient r_M,Io/log(H) rechtfertigt die Aufstellung einer bestanschließenden Beziehung vom Typ Gl. (1). Sie ergibt:

(9b)       M^(7b) = - 0.879  +  0.425 Io  +  2.55 log(H)
              D(M^(7b),Io,log(H))  =  ± 0.302
              d M^(7b)  =  ± 0.836
              d Io^(7b) =  ± 1.969
              d log(H)^(7b)  = ± 0.328

Franke und Gutdeutsch (1974) haben für 29 ostalpine Beben mit H < 28 km eine ähnliche empirische Formel angegeben, die hier zum Vergleich mitgeführt wird.

(9c)    M_{(Franke, Gutdeutsch)} = 0.673 + 0.542 Io + 0.495 log(H)

Tabelle 1 vergleicht Ergebnisse der Gleichungen (1a), (9a) und (9b) für Io = VII:

Daraus ist der Schluß zu ziehen: Zwar stimmen eindimensionale Regressionsbeziehung und Kárník-Formel innerhalb von DM = ± 0.3 überein. Da aber auch Io und H fehlerbehaftet sind, ist der Formel (9b) (orthogonale Regression) der Vorzug zu geben.

6.3. Der Datensatz für ML, Io, H aus KA96

Für die Aufstellung von Näherungsformeln für ML ist das Kollektiv KA96 ausreichend groß. Es stehen 665 Beben mit ML, M, H-Angaben und 370 mit ML, Io, H-Angaben zur Verfügung. Das Ergebnis der Korrelationsrechnung ist:

Die Korrelation r_ML,Io/log(H) liegt zwar nur bei 54%, ist aber signifikant größer als r_ML,Io. Sie genügt also den Signifikanzkriterien. Darum wurde eine Regressionsanalyse des Datensatzes ML, Io, log(H) mit folgendem Ergebnis durchgeführt:

(10)     ML^(5a) = -1.333 + 0.666 Io + 2.000 log(H)
            D ML ^(5a) =  ± 0.867

(10a)   ML^(7a)   =  2.213  +  0.264 Io  +  0.701 log(H)
           D ML^(7a)  =  ± 0.519

(10b)   ML^(7b)  =  0.129  +  0.302 Io  +  2.48 log(H)
            D(ML^(7b),Io,log(H))  =  ± 0.309
            d ML^(7b)  =  ± 0.836
            d Io^(7b)  =  ± 2.753
            d log(H)^(7b)  =  ± 0.336

Tabelle 2 zeigt, daß die nach Gleichung (5a) vorausberechneten ML-Werte für 5km Ł H < 100 km um höchsten 0.25 Magnitudeneinheiten von der orthogonalen Regression (10b) abweichen. Die eindimensionale Anpassung (10a) weicht stark von beiden ab. Gleichung (10b) kann als Abschätzungsformel empfohlen werden, wobei jedoch die hohen Fehler von bis zu 0.8 Magnitudeneinheiten in Betracht gezogen werden müssen.

6.4. Der Datensatz für ML, Ms, H aus KA96

KA96 interpretiert M als die Oberflächenwellenmagnitude Ms für Beben mit Herdtiefen 0 bis 60km. Wenn die Zahl der Stationen mit Ms-Angaben Nstat mindestens 3 ist, kann man ein gut gesichertes Ergebnis für ein instrumentell bestimmtes M, also Ms erhalten*. Der Katalog enthält 96 Ereignisse mit Nstat ł 3.

Die Korrelation zwischen ML und Ms verbessert sich durch den Einfluß von log(H) minimal, so daß man mit den Ansätzen (7a) und (7b) auf folgende Gleichungen kommt:

(11a)     ML^(7a)   =  0.854  +  0.835 Ms  +  0.871 log(H) 
              D ML^(7a) = ± 0213

(11b)     ML^(7b)  =  0.535  +  0.889 Ms  +  0.129 log(H) 
              D(ML^(7b),Io,log(H)) =  ± 0.161
              d ML^(7b)  =  ± 0.216
              d Ms^(7b)   =  ± 0.242
              d log(H)^(7b)  =  1.673

Die geringe Korrelation der Magnituden ML und Ms mit log(H) drückt sich hier durch den äußerst schwachen Einfluß von log(H) auf die Berechnung von ML aus. Dies wird in Abbildung 2 deutlich:

Abb. 2. Verteilung der Lokalmagnituden ML und der Oberflächenwellenmagnituden Ms nach Angaben von KA96 für 96 Erdbeben, deren Ms von mindestens 3 Stationen bestimmt wurde.

(11c)     ML = 0.885 Ms + 0.702 ; Standardfehler = 0.16

Ambraseys und Bommer (1990) fanden für 301 Erdbeben mit ähnlichem Magnitudenbereich:

(11d)     ML(Ambraseys) = 0.71 Ms + 1.46 ; Standardfehler = 0.21

Ihr Beobachtungsfenster 1966 - 1989 ist aber kleiner und ihr Datensatz überlappt sich mit unserem Datensatz nur mit 9 Ereignissen. Man erkennt aus Abbildung 2, daß die Übereinstimmung recht gut ist.

Nach Abbildung 2 ist keine deutliche Sättigung im Bereich zwischen etwa ML = 6.5 bis ML = 7.3 erkennbar, wie auf Grund theoretischer Überlegungen und anderen Beobachtungen zu erwarten wäre (z.B. Giardini et al., 1997).

7. Schlußfolgerung

In dieser Arbeit werden die Korrelationen zwischen M, Io und log(H), sowie ML, Io und log(H) als auch ML und M untersucht, um daraus empirische Beziehungen abzuleiten. Weiterhin werden andere aus der Literatur bekannte empirische Beziehungen geprüft. Datenbasis ist der Erdbebenkatalog von Kárník (1996). Ein Zusammenhang zwischen den Parametern wird erst dann als signifikant angesehen, wenn er mindestens 20 Erdbeben enthält und die Korrelationskoeffizienten in Bezug auf M bzw. ML größer als 0.5 sind.

1. Da die Korrelationskoeffizienten zwischen M bzw. Io und log(H) in allen Fällen wesentlich größer sind als die in Bezug auf H, ist es sinnvoller, eine Näherungsgleichung mit log(H) anstatt H zu verwenden.
   
   
2. M wird nach Kárníks Beziehung M = 0.35 + 0.5 Io + log(H) aus den Katalogwerten 1901-1990 für Io und H ausgerechnet. Das Ergebnis stimmt für diesen M - Datensatz mit dem Standardfehler DM = ± 0.62 überein. Da M, Io und log(H) fehlerbehaftet sind, wird das Ergebnis der orthogonalen Regression
   
       M = - 0.88 + 0.43 Io + 2.55 log(H),
       s = ± 0.30
   
   zur Anwendung empfohlen.
   
   
3. Aus der orthogonalen Regression folgt die empirische Formel für die Lokalmagnitude ML = 0.13 + 0.30 Io + 2.48 log(H), s = ± 0.31. ML stimmt für den Bereich 5 km < H < 100km mit Formel (5a) ML = -4/3 + 2/3 Io + 2 log(H) ± 0.87 trotz des großen Standardfehlers relativ gut überein.
   
   
4. Die sehr hohe Korrelation zwischen ML und Ms wird durch den Einfluß der Herdtiefe H geringfügig verbessert. Eine befriedigende Übereinstimmung beider, der orthogonalen Regressionsformeln ML = 0.89 Ms +0.707 (s = 0.164) und ML = 0.535 + 0.889 Ms + 0.129 log(H) mit s = 0.161 mit Literaturwerten wurde nachgewiesen.

Für Fragen der Erdbebengefährdung ist die orthogonale Regression eine wichtige Hilfe, weil sie einen simultanen Überblick über Fehler sämtlicher Eingangsgrößen einer empirischen Formel gibt.

8. Dank

Dr. Christine Wassilew-Reul (Öko-Institut Darmstadt) und Prof. Dr. Frank Scherbaum (Universität Potsdam) haben uns weiterführende Anregungen gegeben. Dipl.-Geophys. Jürgen Kopera (BIS Hannover), Dr. Klaus-G. Hinzen (Universität Köln) und Dr. Günter Leydecker (Bundesanstalt für Geowissenschaften und Rohstoffe Hannover) haben das Manuskript sorgfältig gelesen und viele hilfreiche und kritische Anmerkungen gemacht. Ihnen allen sei an dieser Stelle gedankt. Teile dieser Untersuchung wurden im Rahmen des EU-geförderten Forschungsvorhabens ICI5 CT96-0205 durchgeführt.

9. Literatur

Ahorner, L. 1983. Seismicity and neotectonic structural activity of the Rhine graben system in Central Europe. In: A. R. Ritsema & A. Gürpinar (eds.), Seismicity and Seismic Risk in the Offshore North Sea Area, D. Reidel Publ. Comp. Dordrecht, S. 101-111, 1983.

Ambraseys, N. N. und Bommer, J. J. 1990. Uniform magnitude re-evaluation for the strong-Motion database of Europe and adjacent areas. European Earthquake Engineering 4, N.2, 3-16, 1990.

Franke, A. und R. Gutdeutsch 1974. Makroseismische Abschätzungen von Herdparametern österreichischer Erdbeben aus den Jahren 1905-1973, J. Geophys. 40, 173-188.

Giardini, D., M. di Donato und E. Boschi, 1997. Calibration of magnitude scales for earthquakes of the Mediterranean, J. Seismology 1: 161-180.

Kárník, V. 1969. Seismicity of the European Area, Part 1, Reidel Publishing Company Dordrecht, Holland.

Kárník, V. 1996. Seismicity of Europe and the Mediterranean, edited by Karel Klima, Academy of Sciences of the Czech Republic StudiaGeo s.s.r.o. and Geophysical Institute Praha.

Meidow, H. 1995. Rekonstruktion und Reinterpretation von historischen Erdbeben in den nördlichen Rheinlanden unter Berücksichtigung der Erfahrungen bei dem Erdbeben von Roermond am 13. April 1992. Inaugural-Dissertation, vorgelegt bei der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Köln.

Richter, Ch. F. 1935. An instrumental earthquake magnitude scale. Bull. Seism. Soc. Am. 25, 1-32.

Robinson, Enders A. und S. Treitel 1980. Geophysical Signal Analysis, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J.

Schönwiese, Ch. D. 1985. Praktische Statistik für Meteorologen und Geophysiker, Borntraeger, Berlin-Stuttgart.

Sponheuer, W. 1960. Methoden zur Herdtiefenbestimmung in der Makroseismik, Freiberger Forschungshefte, C 88, S. 1-120.

[1] Institut für Meteorologie und Geophysik der Universität Wien, A-1090 Wien, Althanstraße 14

[2] Institut für Geowissenschaften, Friedrich-Schiller-Universität Jena, D-07749 Jena, Burgweg 11

* Diesen Hinweis hat uns dankenswerterweise Prof. N. N. Ambraseys, Imperial College of Science, Technology and Medicine, London, gegeben